자동제어 | 보상시스템와 아닌 시스템의 비교 |

페이지 정보

작성자 cemtool 작성일14-04-22 13:30 조회53,049회 댓글72건

본문

다음과 같은 전달함수를 가진 시스템을 생각해 보자.

$G(s)=\frac{4500K}{s(s+361.2)}$

(1) PD 제어기 $K_p+K_Ds$ 를 사용하여 시간영역에서 다음의 성능사양을 만족시키려고 한다. 보상되지 않은 시스템과 $K_p=1$ , $K_D=0.0005, 0.00177, 0.0025$ 의 PD 제어기로 보상된 시스템의 단위계단응답을 구하고, 결과를 설명해보자.

단위램프입력에 대한 정상상태오차 $\leq 0.000443$
최대오버슈트 $\leq5%$
상승시간 초 $\leq0.005$
정착시간 초 $\leq0.005$

(2) 문제 (1)의 PD 제어기를 사용하여 다음의 주파수영역 사양을 만족시키려고 한다. 보상되지 않은 시스템과 보상된 시스템의 Bode 선도를 그리고, 결과를 설명해보자.

단위램프입력에 대한 정상상태오차 $\leq0.000443$
위상여유 $\geq80^{\circ}$
첨두 공진치 $\leq1.05$
BW $\leq2000rad/sec$

«풀이»

(1) 시간영역 설계

램프입력에 대한 정상상태오차의 조건을 만족시키기 위해 K=181.17로 선택한다. 그러나, 이 때에는 시스템의 감쇠비가 0.2이고, 최대오버슈트가 52.7%로서 다른 사양을 만족하지 않는다. 이를 개선하기 위해 PD 제어기 $K_P+K_Ds$ 를 사용한다. 다음은 문제에 주어진 값들에 대하여 단위계단응답을 구하는 프로그램이다.

ex8_1.cem

/* Unit step Response */
K = 181.17;
t = 0:0.04:0.0005;
// Uncompensated system
numu = 4500*K;
denu = [1 361.2 0] + [0 0 numu];
yu = step(numu, denu, t);
// Compensated system( Kp=1, Kd=0.0005 )numc1 = 4500*K*[0.0005 1];
denc1 = [1 361.2 0] + [0 numc1];
yc1 = step(numc1, denc1, t);
// Compensated system( Kp=1, Kd=0.00177 )numc2 = 4500*K*[0.00177 1];
denc2 = [1 361.2 0] + [0 numc2];
yc2 = step(numc2, denc2, t);
// Compensated system( Kp=1, Kd=0.0025 )numc3 = 4500*K*[0.0025 1];
denc3 = [1 361.2 0] + [0 numc3];
yc3 = step(numc3, denc3, t);
// Plot step response 
plot(t,yu, t,yc1, t,yc2, t,yc3)title("Unit-Step Responses of Compensated and Uncompensated Systems")xtitle("t Sec")ytitle("Outputs")

결과로 나온 그래프를 그림 10-에 나타내었다. $K_D$ 의 값이 커질수록 최대오버슈트는 작아진다. $K_D=0.0005$ 일 때에는 주어진 사양을 만족하지 않는다. $K_D=0.00177$ 과 $K_D=0.0025$ 일 때에는 모두 주어진 사양을 만족한다. 실제로 $K_D\geq0.00177$ 이면 모두 사양을 만족하지만, $K_D$ 의 값이 크면 고주파의 잡음, 제어기를 Op Amp로 구현할 때 소자의 용량 값 등의 문제가 발생하므로 가장 작은 값인 $K_D=0.00177$ 을 사용하는 것이 좋다. 이 때의 응답특성은 최대오버슈트 = 4.2% $t_r$ =0.00119초, $t_s$ =0.0049초이다.

(2) 주파수영역 설계

ex8_1.cem

/* Bode plot */
K = 181.17;
w = logspace(0, 4, 500);
// Uncompensated system
numu = 4500*K;
denu = [1 361.2 0]; 
[Mu, Pu] = bode(numu, denu, w);
// Compensated system( Kp=1, Kd=0.0005 )numc1 = 4500*K*[0.0005 1];
denc1 = [1 361.2 0];
[Mc1, Pc1] = bode(numc1, denc1, w);
// Compensated system( Kp=1, Kd=0.00177 )numc2 = 4500*K*[0.00177 1];
denc2 = [1 361.2 0];
[Mc2, Pc2] = bode(numc2, denc2, w);
// Compensated system( Kp=1, Kd=0.0025 )numc3 = 4500*K*[0.0025 1];
denc3 = [1 361.2 0];
[Mc3, Pc3] = bode(numc3, denc3, w);
figureholdon
semilogx(w, 20*log10(Mu))semilogx(w, 20*log10(Mc1))semilogx(w, 20*log10(Mc2))semilogx(w, 20*log10(Mc3))title("Magnitude of Compensated and Uncompensated Systems")xtitle("Frequency(rad/sec)")ytitle("Magnitude(dB)")figureholdon
semilogx(w,Pu)semilogx(w,Pc1)semilogx(w,Pc2)semilogx(w,Pc3)title("Phase of Compensated and Uncompensated Systems")xtitle("Frequency(rad/sec)")ytitle("Phase(degrees)")

프로그램을 실행시키면 그림 10-의 Bode 선도를 얻을 수 있다. $K_D$ 의 값이 증가하면 위상여유와 BW는 증가하고, 첨두 공진치 $M_r$ 은 감소한다. 시간영역에서는 $K_D=0.00177$ 과 $K_D=0.0025$ 일 때 모두 사양을 만족하였으나 주파수영역에서는 $K_D=0.0025$ 일 때 BW 사양을 만족시키지 못한다(BW = 2046). 따라서, $K_D=0.00177$ 일 때에만 위상여유 = $82.92^{circ}$ , BW = 1502 rad/sec, $M_r$ =1.025로 주어진 사양을 만족시킨다.