자동제어 | 이산시스템 단위계단응답 |

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작성자 cemtool 작성일14-04-22 13:17 조회20,200회 댓글13건

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위치제어시스템이 전방경로에 이산치를 가지게 된다고 생각하자. K=14.5제어과정(control process)의 전달함수는

$G_p(s)=\frac{65250}{s(s+361.2)}$
이다. 샘플링 주기 T=0.01초와 T=0.001초에 대하여 시스템을 z변환하고, 변환한 이산시간 시스템의 단위계단응답을 구하여라. 그 결과를 연속시간 시스템이 단위계단응답과 비교하여라.

«풀이»

연속시간 시스템을 z변환할 때는 c2dm 함수를 사용한다.

ex5_6.cem

num = 65250;
den = [1 361.2 0];
numc = num;
denc = [0 0 num] + den;  // Denominator of closed-loop transfer function// T = 0.01 secT = 0.01;
[numz1, denz1] = c2dm(num, den, T)

numz1  =  
      0.0000    1.3198    0.4379
    
denz1  =  
      1.0000   -1.0270    0.0270

ex5_6.cem

numzc1 = numz1;
denzc1 = denz1 + numz1  // Denominator of closed-loop transfer function

denzc1  =  
      1.0000    0.2929    0.4649

ex5_6.cem

// T = 0.001 secT = 0.001;
[numz2, denz2] = c2dm(num, den, T)

numz2  =  
      0.0000    0.0290    0.0257
    
denz2  =  
      1.0000   -1.6968    0.6968

ex5_6.cem

numzc2 = numz1;
denzc2 = denz2 + numz2  // Denominator of closed-loop transfer function

denzc2  =  
      1.0000   -1.6678    0.7226

그러므로, T=0.01초와 T=0.001초에 대한 z변환과 각각의 폐루프 전달함수는 다음과같다.

(1) T=0.01초 일 때

z변환 : $G_{h0}G_p(s)=\frac{1.3198z+0.4379}{z^2-1.027z+0.027}$
폐루프 전달함수 : $\frac{G_{h0}G_p(s)}{1+G_{h0}G_p(s)}=\frac{1.3198z+0.4379}{z^2+0.2929z+0.4649}$

(2) T=0.001초 일 때

z변환 : $G_{h0}G_p(s)=\frac{0.029z+0.0257}{z^2-1.6968z+0.6968}$
폐루프 전달함수 : $\frac{G_{h0}G_p(s)}{1+G_{h0}G_p(s)}=\frac{0.029z+0.0257}{z^2-1.6678z+0.7226}$

이제 각각의 경우에 대하여 단위계단응답을 구해보자. 이산시간 시스템의 단위계단응답을 구할 때는 step 함수대신에 dstep 함수를 사용한다.

ex5_6.cem

// Unit-step response of continuous-time system
t = 0:0.05:0.001;
yc = step(numc, denc, t)plot(t, yc) holdon
// Unit-step response when T = 0.01 sect = 0:0.05:0.01;
yz1 = dstep(numzc1, denzc1, 6);
plot(t, yz1, "*")// Unit-step response when T = 0.001 sect = 0:0.05:0.001;
yz2 = dstep(numzc2, denzc2, 51);
plot(t, yz2, "o")// Enter title, xtitle, and ytitle
title("Unit-Step Response of Discrete System")xtitle("Time(Sec)")ytitle("y(kT)")

T=0.001초로 샘플링주기가 작을 경우에는 연속시간 시스템과 이산시간 시스템의 단위계단응답의 거의 같게 나온다. 그러나, 샘플링주기가 T=0.01초로 커지면 시스템이 안정적이기는 하지만 오버슈트가 커진다. 그림 7-의 그래프를 보면 T=0.01초일 때의 표본 6개가 있는데, 기준입력인 단위계단입력보다 많이 벗어나 있음을 알 수 있다. 가 계속 증가하다가 어느 값을 넘어서면 시스템은 불안정해진다. 이 예제의 경우 시스템이 임계안정적일 때의 의 값은 0.01658초이다. 이 때의 특성방정식은

$z^2+1.4938z+0.4939=0$

이다. 따라서, 근은 z=-0.494와 z=-1.000이고, 근 z=-1.000로 인하여 시스템은 임계안정적이 된다. 그러면, T=0.01658초일 때의 단위계단응답을 구해보자.

ex5_6.cem

// Unit-step response when T = 0.01658 secT = 0.01658;
[numz3, denz3] = c2dm(num, den, T);
numzc3 = numz3;
denzc3 = denz3 + numz3;  // Denominator of closed-loop transfer function
i = 0:180; t = i*T;
yz3 = dstep(numzc3, denzc3, 181);
plot(t, yz3, "o")