자동제어 | 극점에 따른 시스템 안정도 변화 |

페이지 정보

작성자 cemtool 작성일14-04-22 13:28 조회21,197회 댓글13건

본문

다음과 같은 루프전달함수를 가진 제어시스템을 생각하자.

$L(s)=\frac{K}{(s+1)}$ (1) 이 시스템에 s=0인 극점을 첨가함에 따라 시스템의 안정도가 어떻게 변하는지 조사해보자.

«풀이»

먼저 주어진 시스템의 Nyquist 선도를 그려보자. 편의상 K=1이라고 가정한다.

// No pole at s = 0num = 1;
den = [1 1];
nyquist(num, den);
title("Nyquist Plot of L(s) = 1/(s + 1)")

그림 7-의 Nyquist 선도로부터 원래의 시스템이 안정하다는 것을 알 수 있다. 이제 s=0에 극점을 첨가함에 따라 시스템의 안정도가 어떻게 변하는지 살펴보자. (1) s=0에 극점을 하나 첨가할 때

ex7_6.cem

// One pole at s = 0num = 1;
den = [1 1 0];
nyquist(num, den);
title("Nyquist Plot of L(s) = 1/[s(s + 1)]")

결과로 나온 그래프의 x축 범위를 [-2,1]로, y축의 범위를 [-5,5]로 조정하면 그림 7-와 같은 그래프를 얻을 수 있다. 그림 9-로부터 s=0에 극점을 하나 추가해도 시스템은 여전히 안정함을 알 수 있다.

(2) s=0에 극점을 두 개 첨가할 때

ex7_6.cem

// Two poles at s = 0num = 1;
den = [1 1 0 0];
nyquist(num, den);
title("Nyquist Plot of L(s) = 1/[s^2(s + 1)]")

그림 7-의 Nyquist 선도로부터 s=0에 극점이 두 개일 때는 시스템이 불안정함을 알 수 있다.

(2) s=0에 극점을 세 개 첨가할 때

ex7_6.cem

// Three poles at s = 0num = 1;
den = [1 1 0 0 0];
nyquist(num, den);
title("Nyquist Plot of L(s) = 1/[s^3(s + 1)]")

결과로 나온 그래프의 x축 범위를 $[-2\dot10^5,10^6]$ 으로, y축의 범위를 $[-10^9, 10^9]$ 으로 조정하면 그림 7-과 같은 그래프를 얻을 수 있다. 이 때에도 시스템이 불안정하다. 이런 사실들로부터 s=0인 극점을 두 개 이상 가지고 있는 시스템(2차 또는 더 높은 차수의 시스템)은 불안정해진다는 것을 알 수 있다.

1. (2) 시스템에 s=0인 아닌 유한극점을 첨가함에 따라 시스템의 안정도가 어떻게 변하는지 조사하여라.

  1. s=-0.5에 극점을 첨가하여라.
  2. s=-0.5와 s=-0.1에 극점을 첨가하여라.

«풀이» (1) s=-0.5에 극점을 첨가할 때 우선 K=1이라고 가정하자. 루프전달함수는 다음과 같다.

$L(s)=\frac{0.5}{(s+1)(s+0.5)}$

ex7_6.cem

// Pole is added at s = -0.5num = 0.5;
den = [1 1.5 0.5];
nyquist(num, den);
title("Nyquist Plot of L(s) = 0.5/[(s + 1)(s + 0.5)]")

결과로 나온 그래프의 x축 범위를 [-2,3]로, y축의 범위를 [-2.5,2.5]로 조정하면 그림 7-과 같은 그래프를 얻을 수 있다.

유한극점을 하나 첨가함으로써 $\omega=\infty$ 에서 Nyquist 선도의 위상을 $-90^{\circ}$ 만큼 이동시켰다. 그러나, K의 값을 증가시켜도 임계점(-1,j0)을 포함하지 않으므로 K>0일 때 시스템은 안정하다.

(2) s=-0.5와 s=-0.1에 극점을 첨가할 때

루프전달함수는 다음과 같다.

$L(s)=\frac{0.05}{(s+1)(s+0.5)(s+0.1)}$

ex7_6.cem

// Poles are added at s = -0.5 and s = -0.1num = 0.05;
den = conv([1 1.5 0.5], [1 0.1]);
nyquist(num, den);
title("Nyquist Plot of L(s) = 0.05/[(s + 1)(s + 0.5)(s + 0.1)]")

Nyquist 선도가 음의 실수축과 만나는 것을 알 수 있다. 따라서 주어진 예제처럼 K=1일 때는 시스템이 안정하지만, K의 값이 증가하면 임계점(-1,j0)을 포함하게 되므로 시스템은 불안정해진다. 몇 개의 K값에 대하여 Nyquist 선도를 그려서 결과를 확인해보자.

ex7_6.cem

// K = 10num1 = 10 * 0.05;
den1 = conv([1 1.5 0.5], [1 0.1]);
nyquist(num1, den1);
holdon
// K = 20num2 = 20 * 0.05;
den2 = conv([1 1.5 0.5], [1 0.1]);
nyquist(num2, den2);
// K = 30num3 = 30 * 0.05;
den3 = conv([1 1.5 0.5], [1 0.1]);
nyquist(num3, den3);
title("Nyquist Plot for Various Values of K")