자동제어 | 보상된 시스템과 아닌 시스템 비교2 |

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작성자 cemtool 작성일14-04-22 13:31 조회23,197회 댓글3건

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전달함수가 다음과 같다.

$G(s)=\frac{4500K}{s(s+361.2)}$

(1) PI 제어기 $K_p+\frac{K_I}{s}$ 를 사용하여 시간영역에서 다음의 성능사양을 만족시키려고 한다. 보상되지 않은 시스템과 , $K_p=0.08, K_D=0.008, 0.08, 0.8, 1.6$ 의 PI 제어기로 보상된 시스템의 단위계단응답을 구하고, 결과를 설명해보자.

포물선입력 b대한 정상상태오차 $t^2u_s(t)/2$ 에 대한 정상상태오차 $\leq0.2$
최대오버슈트 $\leq5%$
상승시간 초 $\leq0.01초$
정착시간 초 $\leq0.02초$

(2) 보상되지 않은 시스템과 문제 (1)의 PI 제어기로 보상한 시스템의 Bode 선도를 그리고, 결과를 설명해보자.

«풀이»

(1) 시간영역 설계 이번에도 K=181.17로 선택하자. 보상되지 않은 시스템과 문제에 주어진 값들의 PI 제어기를 사용하여 보상한 시스템의 단위계단응답을 구하는 프로그램이다.

ex8_2.cem

/* Unit step Response */
K = 181.17;
t = 0:0.05:0.0005;
// Uncompensated system
numu = 4500*K;
denu = [1 361.2 0] + [0 0 numu];
yu = step(numu, denu, t);
// Compensated system( Kp=0.08, Kd=0.008 )numc1 = 4500*K*[0.08 0.008];
denc1 = [1 361.2 0 0] + [0 0 numc1];
yc1 = step(numc1, denc1, t);
// Compensated system( Kp=0.08, Kd=0.08 )numc2 = 4500*K*[0.08 0.08];
denc2 = [1 361.2 0 0] + [0 0 numc2];
yc2 = step(numc2, denc2, t);
// Compensated system( Kp=0.08, Kd=0.8 )numc3 = 4500*K*[0.08 0.8];
denc3 = [1 361.2 0 0] + [0 0 numc3];
yc3 = step(numc3, denc3, t);
// Compensated system( Kp=0.08, Kd=1.6 )numc4 = 4500*K*[0.08 1.6];
denc4 = [1 361.2 0 0] + [0 0 numc3];
yc4 = step(numc4, denc4, t);
// Plot step response 
plot(t,yu, t,yc1, t,yc2, t,yc3, t,yc4)title("Unit-Step Responses of Compensated and Uncompensated Systems")xtitle("t Sec")ytitle("Outputs")

결과로 나온 단위계단응답 곡선을 그림 8-1에 나타내었다.

$K_I$ 가 증가하면 최대오버슈트는 감소하지만 상승시간 $t_r$ 과 정착시간 $t_s$ 은 증가한다. PD 제어기로 보상한 시스템과 비교해 볼 때 PI 제어기를 사용한 경우에는 최대오버슈트 감소 효과는 크지만 상승시간이 길어진다. 그래프를 보면 $K_I=0.008$ 일 때와 $K_I=0.08$ 일 때의 응답곡선이 거의 겹쳐 있는데 이것은 $K_I=0.008$ 보다 작아지면 최대오버슈트의 개선이 거의 없기 때문이다. 만약 $K_p$ 를 감소시킨다면 최대오버슈트를 더 줄일 수 있지만 상승시간과 정착시간이 길어지는 문제가 발생한다.

(2) 주파수영역 설계

ex8_2.cem

/* Bode plot */
K = 181.17;
w = logspace(-2, 4, 500);
// Uncompensated system
numu = 4500*K;
denu = [1 361.2 0]; 
[Mu, Pu] = bode(numu, denu, w);
// Compensated system( Kp=0.08, KI=0.008)numc1 = 4500*K*[0.08 0.008];
denc1 = [1 361.2 0 0];
[Mc1, Pc1] = bode(numc1, denc1, w);
// Compensated system( Kp=0.08, KI=0.08)numc2 = 4500*K*[0.08 0.08];
denc2 = [1 361.2 0 0];
[Mc2, Pc2] = bode(numc2, denc2, w);
// Compensated system( Kp=0.08, KI=0.8)numc3 = 4500*K*[0.08 0.8];
denc3 = [1 361.2 0 0];
[Mc3, Pc3] = bode(numc3, denc3, w);
// Compensated system( Kp=0.08, KI=1.6)numc4 = 4500*K*[0.08 1.6];
denc4 = [1 361.2 0 0];
[Mc4, Pc4] = bode(numc4, denc4, w);
figureholdon
semilogx(w, 20*log10(Mu))semilogx(w, 20*log10(Mc1))semilogx(w, 20*log10(Mc2))semilogx(w, 20*log10(Mc3))semilogx(w, 20*log10(Mc4))title("Magnitude of Compensated and Uncompensated Systems")xtitle("Frequency(rad/sec)")ytitle("Magnitude(dB)")figureholdon
semilogx(w,Pu)semilogx(w,Pc1)semilogx(w,Pc2)semilogx(w,Pc3)semilogx(w,Pc4)title("Phase of Compensated and Uncompensated Systems")xtitle("Frequency(rad/sec)")ytitle("Phase(degrees)")

프로그램을 실행시키면 그림 10-의 Bode 선도를 얻을 수 있다. 이득여유는 언제나 $\infty$ 이다. $K_I$ 의 값이 증가하면 위상여유는 증가하고, 첨두 공진치 $M_r$ 과 BW는 감소한다. 만약 $K_p$ 의 값을 작게 하면 위상여유가 커져서 시스템의 특성이 개선된다. 그러나, 이 때 시스템의 대역폭 BW가 감소하므로 주의해야 한다.